ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ


^ ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ.

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ С помощью ПАЛЬЦЕВ РУК.

ПРИЕМ УМНОЖЕНИЯ НА 75.

^ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СМЕШАННОГО ЧИСЛА Методом РАЗЛОЖЕНИЯ ЕГО НА СЛАГАЕМЫЕ.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ СИММЕТРИЧНЫХ ЧИСЕЛ.


ПРИМЕРЫ: 8 + х = 10; какое число нужно добавить к 8, чтоб получить 10?


16 + х = 20; 564 + х = 600; х + 356 = 400;

86 + х = 100; х + 238 = 300; 877 + х = 900;

х + 63 = 100; 677 + х = 700; 444 + х = 500.


Умение дополнить число до «круглых десятков», «круглых сотен» обширно используется при устном сложении.

277 + 324 = 277 + 23 + 301 = 601.

Я ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ округлила слагаемое 277 до круглых сотен, до трехсот, взяв для этой цели 23 от второго слагаемого. Можно просто выполнить это сложение, если уметь стремительно отыскать дополнение.

147 + 137 + 153 = 147 + 153 + 137 = (147 + 153) + 137 = 300 + 137 = 437.

Естественно, подробная запись и подробные пояснения ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ изготовлены с целью уяснения всей операции. Приобретя навык устных вычислений, вы станете все делать в уме: «147 да 53, будет 200, да 100-30, да 100-400, да 37, итого 437». Вот и все, что вы приблизительно скажете для себя, подсчитывая ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ сумму.

(12+ 7) + (9+ 10).

Чтоб приспособить к сумме нескольких чисел сумму, нужно поочередно сложить все слагаемые этих сумм:

12+7+ 9+10.

Для выполнения сложения устно нужно переставить последнее слагаемое на 2-ое место слева (переместительный закон), соединить попарно ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ два первых слагаемых и два последних слагаемых (закон сочетательности):

(12+ 10) + (7+ 9).

13

Потому что в обеих скобках дробь второго слагаемого дополняет дробь первого слагаемого до полной единицы, то сложение просто делает устно: 23 + 17 = 40.

И тут 23 дополняется семью до 30 и ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ потом к 30 прибавляется 10.

12,96 + 7,25 = 12,96 + 0,04 + 7,21 = 13 + 7, 21 = 20,21.

Из рассмотренных выше примеров на сложение обычных и десятичных дробей можно узреть, что прием дополнения числа до полных единиц очень полезно использовать при действиях над целыми ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ и дробными числами.

Естественно, что такое деление смешанных чисел существенно проще. Очень прост прием устного счета на сложение и вычитание неких симметричных чисел.

222 + 333 = 555;

606 + 303 = 909;

232 + 535 = 767;

777 + 333 = 444;

848 - 343 = 505;

868 – 232 = 636;

И сложение, и вычитание во всех приведенных случаях просто ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ производятся устно, при этом действие можно выполнить в порядке написания компонент деяния (и ответа), т.е. начиная с высших разрядов.

ПРИМЕРЫ:

238 + 521 = 759;

425 + 604 = 929;

974 – 253 = 721;

651 – 331 = 320;

542 + 364 = 906;

627 + 233 = 860;

777 + 123 = 900;

606 – 363 = 243;

505 – 141 = 364;

303 – 252 = 51.


78 + 26 = 78 – 4 + 30 = 74 + 30 = 104;

375 + 88 = 375 – 12 + 100 = 363 + 100 = 463;

22 + 11 + 55 = 88;

333 + 222 + 444 = 999;

555 + 444 – 777 = 222;

19 х 4 х 17 х 25;

17 х 19 х 25 х 4;

17 х 19 х 100;

17 х 20 – 17 = 340 – 17 = 323.


14


^ УСТНЫЙ СЧЕТ ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ ПРИ ДЕЙСТВИЯХ

С Обычными ДРОБЯМИ


К примеру: (130, деленное на 13, даст 10 и остается , как следует, имеем смешанное число 10); из просто исключить целое, равно как и из , , , . Таким макаром, из 26 некорректных дробей не наберется и 10, из которых ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ проблемно выделить устно целое число.

В примерах даны смешанные числа, которые нужно направить в некорректные дроби; большая часть примеров можно выполнить устно.

Смешанное число 83(более «трудное» посреди данных в примере чисел) вы просто ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ обратите в некорректную дробь устно:

83= = .


Мы помножили 83 на 11 описанным выше методом: расставили числа числа 83 и в среду поставили их сумму, но потому что 8 + 3 = 11, то левую цифру прирастили на единицу. К ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ 913 прибавить 7 не представляет никакого труда.

К примеру, просто уменьшить, прибегнув к поочередному делению (в уме) числителя и знаменателя дроби на 2, снова на 2 и.д.

просто уменьшить в уме поначалу на 10, а потом ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ на 7. Из просто исключите целое.

То же самое нужно сказать и о примерах на приведение дробей к общему знаменателю, а как следует, и о примерах на сложение и вычитание дробей, потому ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ что в последнем случае вся трудность сводится к приведению к общему знаменателю. Огромную часть примеров и задач на обыкновенные дроби, приведенных в сборнике, просто можно выполнить устно.

Вот еще более непростой пример ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ из их на сложение и вычитание дробей:

121- (5+ 8 + 16 - 9).

Две дроби из 4, обозначенных в скобках, просто поменять их суммой, не прибегая даже к их написанию (полуписьменное вычисление). Это дроби 5 и


15

16 Дробь в уме заменяется , тогда ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ и просто подсчитать в уме сумму обозначенных 2-ух дробей: 5 + 16 = 21 = 22.

Запись я привела только для того, чтоб показать, как произведена устно операция.

Но можно и не прибегать к сложению этих 2-ух дробей ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, а сходу сложение и вычитание всех дробей написанных в скобке.

5 + 8 + 16- 9 = 20 + + + - .

Я устно выполнила деяния сложения и вычитания целых чисел, а дроби выписали, попутно разложив их знаменатели на множители.

Советую при всех обстоятельствах не ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ переписывать ни 1-го числа, ни одной дроби, не сделав «по дороге2 того либо другого деяния.

Разлагая знаменатели дроби на множители, я в этом случае не разлагала их на обыкновенные множители, потому что ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ ясно видно было из последнего знаменателя (56), что нам нужен будет для меньшего общего кратного множитель 8.

20= 20 = 20 = 20 = 20 = 21.

Умножение числителя каждой дроби на дополнительный для дроби множитель без особенного труда в данном примере можно выполнить в уме ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ. Умножение 11 на 70 и 3 на 15 просто выполнимо в уме, а умножение 7 на 56 либо 56 на 7, также 35 на 7 идеальнее всего произвести, умножая на 7 разряды множимого:

56 · 7 = (56 + 6) · 7 = 350 + 42 = 392,

35 · 7 = (30 + 5) · 7 = 210 + 35 = 245.

Сейчас перейдем к выполнению деяния сложения и вычитания чисел ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, стоящих в числителе. Вычитаем 45 из 245, остается 200. Слагаемое 392 полезно округлить до 400, получим:

770 + 400 + 200 – 8 = 1370 – 8 = 1362.

В итоге сложения и вычитания дробей в скобке получили: 20.

Просто убедиться, что данная дробь сократима, ее можно уменьшить на 3 и ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ на 2, как следует, на 6.

Число 1362 можно поделить на 6, выполняя действие в уме: представим в уме 1362 в виде слагаемых, кратных 6 – это 1200, 120 и 42, и каждое из их просто разделим в уме на 6, получим ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ 200, 20 и 7 либо 227. Сокращение на 6 знаменателя дроби на представляет никакого затруднений, потому что он написан в виде отдельных сомножителей.

Получим:

20 = 20 = 21.

16

Сейчас перейдем к последнему действию:

121 - 21 = 100 + ( - ).

Разложим знаменатели дробей на множители:

200 = 10 · 4 · 5.

140 = 10 · 7 · 2.

Общий меньший знаменатель ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ будет: 10 · 4 · 7 · 5.

100 + ( - ) = 100 + = 100 + .

Умножение 123 на 7 можно выполнить поразрядно (100 + 20 + 3) · 7 либо (120 + 3) · 7. Сейчас знаменатель можно представить в виде 1-го числа, перемножив составляющие его сомножителя: 5 на семь 30 5, умножим на 2 – 70, снова на 2 – 100 40 и умножая на 2 – 70, снова 2 – 100 40 и умножая на 10 – одна ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ тыща четыреста.

Чтоб отнять из 861 число 870, в уменьшаемом на хватает 9, нужно занять их 100 единицу и раздробить ее в тыща четырехсотые толики. Эти недостающие 9 единиц я возьму из , получим 99. В ответе имеем несократимую ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ дробь.

Если опустить все пояснения, которые преследовали цель сделать понятными операции, то все решение примера воспримет таковой вид:

121 - (5 + 8 + 16 - 9) = 99.

  1. 5 + 8 + 16 - 9 = 20 = 20 = 20 = 20 = 20 = 21.

  2. 121 - 21 = 100 + = 100 + = 99.



^ УСТНЫЙ СЧЕТ ПРИ ДЕЙСТВИЯХ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ.


Все произнесенное в отношении обычных дробей еще ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ в большей мере относится к дробям десятичным. Их преобразования, деяния над ними, вычисление процентов (все три задачки на вычисление процентов) в очень многих случаях выполнимы устно.

Такие операции над десятичными дробями, как ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ уменьшение либо повышение в 10, 100, 1000 и т.д. раз, приведение десятичных дробей к одному знаменателю, раздробление десятичных дробей к одному знаменателю, раздробление и перевоплощение именованных метрических мер, - все это можно и должно ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ делать устно.

Сложение и вычитание десятичных дробей можно выполнить устно во


17

всех тех случаях, когда комфортно произвести действие устно над числами,

выражающими числители этих десятичных дробей. Все приемы устного счета, которые применимы ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ для выполнения действий с целыми числами, полностью и на сто процентов применимы тут. Так, если комфортно при сложении чисел 35 и 98 округлить 2-ое слагаемое до 100 и из 135 отнять 2, то более комфортно тот же прием употребить ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ при сложении 0,35 и 0,98. Ясно, что, складывая 35 сотых с 98 сотыми, я в сумме должна получить сотые. Сложив числители – 35 и 98, я получила 135. Как уже произнесенное, что в сумме я получила сотые толики, т.е ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ. , либо 1,35. Как видно из разобранного примера, при выполнении устно действий над десятичными дробями, удобней и выгодней, произнося знаменатель десятичной дроби , представлять его в уме написанным. При производстве действий устно над десятичными дробями нужно ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ их в уме обращать в простые дроби. получив же итог, произнести его и записать в виде дроби десятичной. В разобранном примере это будет смотреться так: 0,35 + 0,98 = 1,35.

«35 сотых да 98 сотых будет 135 сотых, либо 1,35»

Еще ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ пример: 0,456 – 0,357.

Вычту из 456 число 356, получим 100, потом еще вычтем единицу, получим 99. Я прочитала тысячные толики, как следует, в ответе я буду иметь 0,999.

3,27 – 2,98.

Округлив вычитаемое до 3,00 и вычтем из 3,27, получив 0,27 да еще прибавить ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ 0,02, окончательный ответ: 0,29.

Могут быть и поболее сложные случаи.

1,25 – 0,75.

Из 25 сотых нельзя отнять 75. Но 1,25 есть 125 сотых и из их просто отнять 75 сотых методом дополнения вычитаемого до величины уменьшаемого. Получим 50 сотых, либо 0,50.

0,3 – 0,03.

И тут ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ можно просто произвести вычитание устно, приведя в уме дроби к одному знаменателю.

Из 30 сотых вычитаем 3 сотых, получим 0,27.

7,31 – 4,005.

Из 7 целых вычитаем 4 целых, получаем в остатке 3 целых; из 310 тысячных вычитаем 5 тысячных, получаем ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ 305 тысячных, а всего 3,305.


^ ИНДУССКИЙ Метод УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ


Полезно учащимся познакомиться еще с некими приемами полуписьменного ведения вычислений. Возьму два двузначных числа, у каких число 10-ов идиентично, а сумма единиц обоих сомножителей равна 10. к примеру ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, числа 72 и 78. В общем виде эти числа можно записать так: 10a + b и 10a + c, где b + c = 10.

Перемножим эти числа в общем виде:


18

(10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10a · b + 10a · c + bc ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ = 100a2 + 10a (b + c) + bc = 100a2 + 10a · 10 + bc = 100a (a + 1) + bc.

Отсюда ясно виден прием умножения таких двузначных чисел: нужно помножить число 10-ов сомножителя на число, огромное на единицу ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, это будут сотки ответа, и приписать произведение, приобретенное от умножения единиц обоих сомножителей: 100 (7 · 8) + 2 · 8 = 5616.

Примеры:

94 х 96 = 9024;

5,2 х 5,8 = 30,16;

24 х -,26 = 6,24;

117 х 113 = 100 (11 · 12) + 21 = 13221,

491 х 499 = 100 (49 · 50) + 245009,

155 х 155 = 100 (15 · 16) + 25 = 24025,

805 х 805 = 100 (80 · 81) + 648025.

Как приметно, что этот приме умножения применим и при умножении трехзначных чисел ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ и дробей, следует только сообразить, где должна стоять запятая в произведение.

Во 2-м примере я имею десятые толики в каждом из сомножителей, как следует, итог будет иметь сотые толики.

Можно, в конце ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ концов, применить этот приме при умножении смешанных чисел, дробная часть которых записана в виде обычной дроби:

6 х 6 = 42.

Можно даже самому просто обосновать корректность равенства:

(a + )(a + ) = a(a + 1) + , если + = 1.

Естественно, неудобство этого ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ приема умножения заключается в необходимости иметь в собственном распоряжении не любые двузначные числа, а особые: 10-ки обоих чисел должны быть схожими, а единицы 1-го сомножителя должны является дополнением до 10 к единицам ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ другого сомножителя. Это очень ограничивает возможность внедрения этого приема умножения двузначных чисел.

Можно, естественно, отыскать выход из положения, применяя, допустим, таковой прием:

53 х 58 = 53 х 57 + = 3021 + 53 = 3074.

Но существует, примем полуписьменного умножения двузначных чисел, с так именуемый индусский ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ метод (метод «молния»).

Пусть требуется помножить 37 на 48.

От умножения единиц сомножителей я получила 56, при этом 6 – это единицы произведения, а 5 10-ов нужно прибавить к десяткам произведения, которые выходит: 3 х 8 + 4 = 7 = 52 (10-ка ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ), да еще 5 10-ов, будет 57 10-ов, 7 10-ов я пишу в произведение, а 5 сотен должна буду прибавить к соткам, приобретенным от умножения 3 х 4. Итак, в произведении 6 единиц, 7 10-ов и 17 сотен, т.е. 1776.

19

Вычисление размещается ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ так:


Поначалу производится умножение в правом столбике ↨87, будет 56, 6 пишем, а 5 10-ов запоминаем.


3 7

| |

| Х |

  1. 8

_______

  1. 7 7 6



Потом производим умножение по диагоналям. Х


3х8 = 24, да 4 х 7 = 28, всего 52, да еще 5 10-ов в уме, получаем 57 10-ов пишем, а 5 сотен держим в ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ уме, в конце концов умножаем в левом столбике 3 на 4, получаем 12 сотен, да 5 сотен в уме итого 17 сотен. Ответ 1776.

Этот общий примем полуписьменного умножения двухзначных чисел очень эффективен, и может быть вам рекомендован ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ для практического использования. Можно этот приме распространить и на умножение трехзначных чисел, но фактически такое умножение принесет не достаточно полезности.


^ Достойные внимания ЧИСЛА.


В самом начале я указывала, что кроме общих правил устного ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ счета, имеют особые приемы устного счета, применимые только для определенных чисел. Посреди этих особых приемов имеются такие, исследование которых так трудно, а употребление так изредка, что нет смысла уяснить эти приемы ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ. Но познакомиться с некими из их будет любопытно. На страничке 10 я познакомила Вас с число 999, умножение на которое можно произвести в уме; естественно, советую воспользоваться общим приемом умножения числа на 999 (57 х 999 = 57 000 – 57).

Познакомимся ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ еще с рядом таких чисел.

А) Умножение трехзначного числа на 1001:

749 х 1001 = 749 х (1000 + 1) = 749 000 + 749 = 749 749.

Таким макаром, чтоб помножить хоть какое трехзначное число на 1001, довольно написать это трехзначное число два раза попорядку.


20

Так ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, 578 х 1001 = 578 578;

901 х 1001 = 901 901.


Б) Умножение двузначного числа на 10101:

87 х 10101 = 87 · (10000 + 100 + 1) = 870000 + 8700 + 87 = 878 787.

Чтоб помножить хоть какое двузначное число на 10101, нужно написать это число трижды попорядку.

Так: 62 х 10101 = 626262,

32 х 10101 = 323232.


В) Квадрат числа 11 равен 121, квадрат числа 111 равен 12321; 11112 = 1234321. подметим закон ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ составления квадратов чисел вида 11, 111, 1111 и т.п. Таковой порядок написания квадратов чисел, составленных с помощью одних единиц, вытекает из написания промежных сомножителей (отступая на лево на один символ) при умножении числа само ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ на себя.

Г)

1 х 9 + 2 = 11

12 х 9 + 3 = 111

123 х 9 + 4 = 1111

1234 х 9 + 5 = 11111

12345 х 9 + 6 = 111111

123456 х 9 + 7 = 1111111

1 234 567 х 9 + 8 = 11111111

12 345 678 х 9 + 9 = 111111111


Корректность этих равенств можно проверить конкретно умножением.

Д) Укажите правило составления последующих произведений:


1 х 8 + 1

12 х 8 + 2

123 х 8 + 3

1234 х 4 + 4

12 345 х 8 + 5

123 456 х 8 + 6

1 234 567 х ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ 8 + 7

12 345 678 х 8 + 8

123 456 789 х 8 + 9


^ УСТНЫЙ СЧЕТ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИМЕРОВ И ЗАДАЧ

ПО АЛГЕБРЕ.


Я старалась, может быть, подробнее показать, что в любом разделе математики можно и должны воспользоваться обширно устным счетом.


21

Перейду к алгебре, где так же ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ можно воспользоваться приемами устного счета для выполнения упражнений. Свою идея я объясню на ряде примеров, взятых из самых различных отделов программки алгебры.

1) Вычисление числового значения алгебраического выражения.

А) (yz + y2 + ) при x ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ = 2,5;

Y = 0,4;

Z = 0,2.

Можно сделать подстановку числовых значений отдельных буквенных сомножителей сходу, не производя никаких действий либо преобразований.

(0,4 · 0,2 + 0,42 + ) = 5(0,08 + 0,16 + 12,5) = 5 · 12,74 = 6,37 · 10 = 63,7.

Как видно, все вычисления произведены в уме с записью только данных чисел и получаемых результатов ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ. В 4 10-х две десятые содержат 2 раза, 2,5, умноженное на 2 отдало в итоге 5.

Умножение 4 10-х на 2 10-х отдало 8 сотых; 4 10-х, умноженные на себя, дали 16 сотых; заместо деления 2,5 на 0,2 выполнено умножение на 5. 2, умноженное ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ на 5, дает 10, да еще 5 раз взята половина. Итого 12,5. Сложение снутри скобок просто выполнимо в уме. Умножение 12,74 на 5 произведено уже известным методом.

Б) (a2 – b2 – c2 + 2ab) : при a = 8,6;

b =

c = 3

Тут до подстановки ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ в алгебраическое выражение числовых значений отдельных значений букв полезно за ранее произвести упрощение данного алгебраического выражения:

[a2 – (b – c)2] : = (a – b + c) (a + b – c) : = = (a + b + c) (a – b + c).

Множить ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ приобретенные трехчлены по правилу умножения многочленов очевидно нецелесообразно, потому что я получила в произведении девятичлен, очень непростой для подстановки в него числовых значений букв и для арифметического подсчета. Можно помножить данные ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ трехчлены, представив их как сумму и разность 2-ух количеств: [(a + c) + b] [(a + c) - b]. Да и это нецелесообразно, потому что в конечном итоге получим четырехчлен.

Лучше подставить в трехчлен числовые значения:


22


(8,6 + 3 + ) (8,6 + 3 - ).

Сложив ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ устно дроби 8,6 и 3

(8 + 3 = 11 = 11),

Получив в скобках сумму и разность 2-ух количеств, которую можно представить на основании известной алгебраической формулы, на основании известной алгебраической формулы в виде разности квадратов этих чисел:

(11 + ) (11 - ) = (11)2 – 3 = 142 - 3 = 139.

Умножение 11 само ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ на себя можно произвести так же устно по формуле квадрата суммы 2-ух чисел с записью чисел:

(11 + )2 = 121 + + = 121 +20= 141 = 142.

Умножение 11 само на себя произвели по известному нам правилу умножения на 11. Умножение 11 · 14 · 2 ·2 = 196. Умножение 15 на 15 произвела ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ так: 15 · (10 + 5) = 150 +75 = 225. Сложение 120 + 196 произведено по разрядам.

Исключение целого из не составляет труда. Вычитание 225 из 316 произведено дополнением вычитаемого до величины уменьшаемого.

Очень сложные вычисления можно было на сто процентов произвести в уме с записью ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ только чисел и промежных результатов.

2) Преобразование и деяния над одночленами и многочленами.

.


Ясно, что деяния сложения либо вычитания коэффициентов можно выполнить устно.

Б) (-0,3ab) + (-0,2a2) + (+1,4b) + (-5a2) + (-2,3ab) + (-b) = -0,3ab – 0,2a2 + 1,4b ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ – 5a2 – 2,3ab – b = - 2,6ab – 5,2a2 + 0,4b.

И тут сложение, и вычитание десятичных дробей нужно произвести в уме.

В) Проверить справедливость равенств:

abc = (ab) c = a (bc) – сочетальный закон

при a = 0, 5; b = 2; c = - 6.

(0,5 · 2) · (-6) = 0,5 · [2 · (-6)]; 1 · (-6) = 0,5 · (-12);

-6 = -6.

Г) Вычислить более ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ обычным методом:

4 · 2 · (-28) · 125 = 125 ·8 (-28) = 1000 · (-28) = -28000.

Применяем переместительный и сочетательный законы умножения.

Я переставила сомножитель 125 на 1-ое место, заменила сомножитель 4 2 их произведением. Я знаю, что 125, взятое 8 раз, составляет 1000.


23

Можно было бы, естественно, помножить ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, сочитая числа другим методом:

125 х 2 х 4 = 250 х 2 х 2 = 500 х 2 = 1000, либо:

125 х 4 х 2 = 500 х 2 = 1000.

Д) Помножить многочлен на многочлен:

(1 – 0,3p + 0,02p2) · (1 – 0,4p) = 1 – 0,3p + 0,02p3 – 0,4p + 0,12p2 – 0,008p4 = 1 – 0,7p + 0,12p2 + 0,02p3 – 0,008p4.

Невзирая на то, что ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ коэффициентами одночленов являются десятичные дроби, все деяния над ними нужно выполнить устно.

Е) Поделить многочлен на одночлен:

(: 5 a2 + 2a2x – 1,5х2.

Все три деления дроби на дробь (в коэффициентах)выполняю методом умножения ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ делимого на дробь, оборотную делителю. В уме производим сокращение дробей, а в ответах обыкновенные дроби обращаем в десятичные.

3)Сокращенное умножение и деление по формулам.

А) (.

Б) 199 · 201 = (200 – 1) · (200 + 1) = 2002 – 12 = 40 000 – 1 = 39 999.

В) 3282 – 1722 = (328 + 172) · (328 – 172) = 500 · 156 = 78 000.

Сложение 328 и 172 просто произвести так: 300 + 100 + (28 + 72) = 500.

Умножение ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ 156 на 500 производим по известному нам приему умножения на 5:

156 х 500 = · 1000 = 78 000.

Деление 156 на 2 просто произвести так:

(140 + 16) : 2 = 70 + 8 = 78.

Г) (1.

В денном примере я предпочла произвести операции с обычными дробями, а потом, ответ дать в десятичных ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ дробях.

Д) (0,2y2 – 0,3y3) = 0,008y6 – 3 · 0,04y4 · 0,3y3 + 3 · 0,2y2 · 0,09y6 – 0,027y9 = 0,008y6 – 0,036y7 + 0,054y8 – 0,027y9.

2-ой и 3-ий члены вычислены не сходу, при первом написании только изображены сомножители, из которых эти члены ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ должны составляться, да высчитан квадрат первого и квадрат второго члена. Такая запись сделала вероятным устные вычисления всего примера.

Е) (.

4) Алгебраические дроби.

А) Уменьшить дроби: .


24

Все операции выполнены в уме с записью результатов ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ.

Б) Упростить дробь и отыскать числовое значение выражения:

при a = -8; b =

.

Как видно, и тут все выполнено в уме известными приемами устного счета.

В) Выполнить обозначенные деяния:

[] : : =

Дальше, следует уменьшить оба члена ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ делимого (как следует, уменьшить все делимое) и делитель на (p – q), = : =, а потом помножить на q (что равносильно делению на ).

= .

Умножение (p + q) на (p + q) , либо строительство (p + q) в квадрат, проделано ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ в уме, вычитание неполного квадрата суммы из полного квадрата суммы также просто провести в уме, даже не выписывая на сто процентов уменьшаемое и вычитаемое, как это сделала я.

5) Уравнения.

А) .

.

Я думаю ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, что далее все можно подсчитать в уме: да , это будет + y. Перенесу все члены с игреком вправо. Там будет + 10y и - 2y, либо 8у. Все свободные члены перенесем на лево, будем ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ иметь (считать в уме)

+15 +2 – 1 = 16.

Читаю равенство справа влево (а не слева вправо):

8у = 16,

У = 2.

Б) .


Привожу все члены уравнения к общему знаменателю, а потом умножаем все эти члены на общий знаменатель. Получаю:

a ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ3bx – a2b + b3 = a3 – ab +ab3x;

ab(a2 – b2)x = (a3 – b3) + ab (a – b).

25

В уме произведена группировка членов и вынесение общих множителей за скобку. Сокращу все ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ члены уравнения на (a – b):

Ab(a +b)x = a2 + ab + b2 +ab.

Потому что в правой части уравнения я имею развернутый квадрат суммы, то все члены уравнения можно уменьшить на (a + b), этот ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ сомножитель имеется в левой части при иксе.

abx = a +b

x =

Я помножила все члены уравнения на выражение, содержащие неведомое, потому, как понятно, нужно проверить пригодность приобретенного корня:



. Подстановка отысканного корня в ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ первоначальное (начальное) уравнение привела к тождеству, как следует, x = есть корень данного уравнения. Замечу попутно, что, применяя производные пропорции при решении неких уравнений, можно существенно упростить их решение. Пример:

.


26

^ КОГДА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ НЕ УСТУПАЮТ ВЫЧИСЛЕНИЯМ НА МК


Современного школьника не нужно убеждать в возможности микрокалькуляторов (МК) облегчить и ускорять процесс вычислений. Думаю, что установилась пора демонстрировать учащемся такие случаи, когда человек, вооруженный только умением делать тождественные ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ преобразования, может оспорить с МК в скорости вычисления значений неких числовых выражений. В школьной арифметике традиционны упражнения на нахождение числовых выражений с подготовительным их упрощением. Укажем обычные из таких упражнений в учебниках для ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ V – VIII классов:

1) 31 · 82 + 125 · 48 + 31 · 43 – 125 · 67; 2)

3) 4) 5)

6) 7)

До недавнешнего времени такие упражнения в том, что без выполнения подходящих преобразований достижение цели затруднено. Но с внедрением МК эта дидактическая нагрузка утрачена многими вычислительными упражнениями. Оказалось, что время ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, нужное для конкретных вычислений на МК, не превосходит времени, требуемого для выполнения преобразований. Далековато не всех учеников завлекают приемы тождественных преобразований, а беря во внимание отсутствие различия во времени выполнения, многие из их ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ по чисто вычислительному пути. Не считая того, в неких вычислительных упражнениях предварительные преобразования требуют достаточно высочайшей степени искусственности, которую ранее ученики принимали как нужную, но сейчас для такового восприятия нередко нет ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ оснований.

Приведу пример. Узнаваемый прием для нахождения значения выражения сводиться к решению уравнения = a. Возводя в куб обе его части и выполнив тривиальные упрощения, имеем () = a3 – 14, либо -3a = a3 – 14, т.е. a3 + 3a ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ – 14. Просто установить, что последнее уравнение имеет единственный корень a = 2. Означает, = 2.

Вопрос о рациональности пути решения вычислительного упражнения довольно ясен: рационален тот путь, следуя которому ученик затрачивает для заслуги цели малое время ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ. Путь упрощающих преобразований, ранее бывшим для многих упражнений оптимальным, при наличии МК может стать нерациональным.

Способности курса алгебры позволяют предложить ученикам задания, поддерживающие способности преобразований. Так, в теме «Квадратные уравнения» уместно использовать ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ преобразования подкоренных выражений при вычислении Приведем примеры:

27

1) 8х2 + 49х – 49 = 0; = = = = 63;

2) 5х2 – 101х + 20 = 0; = = = = 99;

3) 81х2 – 81х + 14 = 0; = = = = 45.

Решая приведенные уравнения, учащиеся, понимают нерациональность внедрения в данной ситуации МК. Непременно, они должны быть подготовлены к способности нахождения ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ дискриминантов без МК. Такая подготовка достигается после сравнимо маленький тренировки, которая может проходить, к примеру, в виде состязания: устный счет против МК. Для состязания подбираются такие упражнения, в каких ученик ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, вычисляющий устно, не проигрывает тому, кто пользуется МК.

Нужно увидеть, что умение конвертировать подкоренные выражения понадобится ученику при решении многих задач. Разглядим типичную задачку, которая сводится к системе



Подстановка у = 360/х в 1-ое уравнение приводит ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ к биквадратному уравнению. После подмены х2 = t получаем t2 - 1681 t + 3602 = 0.

Ученики испытывают затруднения в решении этого квадратного уравнения: из-за огромных коэффициентов тяжело отыскать . Но не всякий МК помогает в данном случае. Так ПРИЕМЫ ДОПОЛНЕНИЯ ЧИСЕЛ ПРИ СЛОЖЕНИИ. ПРИЕМ ПОСТЕПЕННОГО «СБРАСЫВАНИЯ» ЧИСЕЛ ПРИ ВЫЧИТАНИИ, МК – 35 не дает четкого значения выражения . Уже при строительстве в квадрат числа 1681 он дает ответ 2 825 760, ошибаясь на 1. В то же время просто добиваются цели последующие преобразования:

= =



prigotovlenie-bakterialnogo-gaptena.html
prigotovlenie-blyud-iz-myasa-i-domashnej-ptici.html
prigotovlenie-formovochnih-i-sterzhnevih-smesej.html